آخرین قضیه فرما

[amininho]

با سلام خدمت ایران انجمنی های عزیز.
در این تاپیک به یک قضیه که خیلی برام همیشه جالب بوده می پردازم
قضیه فرما
اما شاید بخواید بدونید این قضیه چیست؟
نوشته شده ی ویکی پدیا در این مورد :

قضیهٔ آخر فرما یکی از مشهورترین قضیه‌های تاریخ ریاضیات است. این قضیه می‌گوید:

«معادله

برای

جواب صحیح و غیر صفر ندارد.»

​

یعنی اعداد صحیح و غیر صفر

و

و

را نمی‌توان یافت که جواب‌های معادله فوق باشند.
پی‌یر فرما ریاضیدان فرانسوی سده ۱۷ (میلادی) در حاشیهٔ کتابی نوشته بود که اثبات این قضیه را در ذهن دارد ولی جای کافی برای نوشتن در اختیار ندارد. این قضیه تا ۱۹۹۴ حل‌نشده باقی مانده بود.
اندرو وایلز استاد دانشگاه پرینستون در سال ۱۹۹۳ با است**ده از نظریه اعداد پیشرفته اثباتی برای این قضیه ارائه کرد که دارای مشکلی بود ولی در سپتامبر ۱۹۹۴ اشکال این راه حل توسط خود وایلز و با همکاری یکی از همکارانش به نام «تیلر» برطرف شد.

ادامه در پست های دیگر...​

 

[amininho]

گوگل مدتی پیش، لوگوی خود را به مناسبت سالگرد تولد پیر دو فرما به صورت زیر تغییر داد:
​

​

پیشنهاد میدم نوشته یک پزشک در مورد این قضیه رو بخونید :

بسیاری از شماها ممکن است، با دیدن این لوگو، اصلا رغبت نکنید با کلیک‌ها و جستجوهایی مسئله را دنبال کنید، آخر سر درآوردن از زندگینامه یک ریاضیدان فرانسوی که سال ۱۶۶۵ درگذشته، چه **یده‌ای دارد. اما شاید اگر پست زیر را بخوانید و با داستان فرما و آخرین قضیه‌اش آشنا شوید، نظرتان عوض شود و دریابید که گوگل، بی‌جهت، لوگوی اختصاصی در بزرگداشت کسی درج نمی‌کند!به محض دیدن این لوگو ذهنم رفت به سال‌های دهه شصت و تابستان سال ۶۵! تابستانی گرم، کتابخانه عمومی و دکه روزنامه فروشی.
آدم، وقتی کودک است مطالب خیلی محکم و پاک‌نشدنی در مغزش حک می‌شوند، به همین خاطر تا نام فرما را شنیدم، بلا**صله در ذهنم مقاله‌ای تداعی شد که آن زمان در مجله دانشمند خوانده بودم. مقاله را مرحوم احمد آرام نوشته بود. البته بدیهی است که یک پسربچه نه ساله چیز زیادی از مقاله نمی‌فهمید ولی خوب، دست کم از آن مقاله چهره فرما و اینکه قضیه‌ ریاضی‌ای دارد که سال‌های سال کسی نتوانسته آن را حل کند، کاملا ذهنم بود. سال‌ها بعد جایی خواندم که قضیه حل شده است ولی خوب هیچ وقت خبر کاملی در مورد آن نخوانده بودم و تا امروز هم اطمینان نداشتم که قضیه فرما حل شده است.

​

​

لوگوی گوگل باعث شد که بعد از سال‌ها جستجویی کنم، ببینم چه بر سر آخرین قضیه فرما آمده است!​

 

[amininho]

اما داستان آخرین قضیه فرما چیست؟

پی‌یر دو فِرما (Pierre de Fermat) در سال ۱۶۰۱ در نزدیکی مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند یک تاجر چرم بود و تحصیلات اولیه خود را در منزل گذراند. سپس برای احراز پست قضاوت به تحصیل حقوق پرداخت و بعدها به‌عنوان مشاور در پارلمان محلی شهر تولوز انتخاب شد.فِرما، اما علاقه زیادی به ریاضیات داشت و پدر نظریه اعداد جدید به شمار می‌رود. وی همچون بسیاری از دانشمندان دیگر همزمان خود به مطالعه کتاب‌های علمی قدیمی اشتغال داشت. او در نظریه اعداد از کتاب ریاضیدانی یونانی به نام اریتمِتیکا یعنی علم حساب الهام می‌گرفت. این کتاب در قرن شانزدهم توسط اروپاییان بعد از گذشت سالیان زیاد کشف شده بود.

​

​

فرما، حواشی فراوانی بر نسخه ارتماتیکای خود نوشته بود و پس از مرگش در سال ۱۶۶۵، پسرش چاپ تازه‌ای از این کتاب را با این حواشی منتشر کرد. یکی از این حواشی به صورت یکی از گفته‌های مشهور در تاریخ ریاضیات درآمده است:پس از بیان مسئله مربوط به یافتن اعداد مربعی که حاصل دو عدد مربع دیگر هستند (همچون ۲۵ که حاصل جمع ۹ و ۱۶ است)، ترجمه حاشیه لاتینی نوشته‌شده به دست فرما بر کتاب چنین است:
«از سوی دیگر غیرممکن است که عدد مکعبی حاصل جمع دو عدد مکعب دیگر باشد و یک توان چهارم مجموع دو توان چهارم یا به صورت کلی هر عددی که به توانی بزرگ‌تر از دو رسیده است جاصل جمع دو عدد باشد که هر دو به آن توان رسیده‌اند. من راه‌حلی واقعا شگفت‌انگیز، برای این قضیه کشف کرده‌ام که این حاشیه برای نوشتن آن ک**یبت نمی‌کند.»

​

این قضیه به نام آخرین قضیه فرما مشهور شد و با ان که ریاضیدانان سه قرن، برای اثبات آن کوشیده بوند، تا پانزده شانزده سال پیش، کسی نتوانسته بود، آن را اثبات کند.
سال‌های زیادی، قصیه فرما به صورت یکی از مسائل بزرگ حل‌ناشده ریاضیان نوین درآمد.
اما آیا فرما -ریاضیدانی فوق‌العاده‌ای که در تأسیس هندسه تحیلی (با دکارت) و حساب انتگرال و دیفرانسیل (با لاییبنیتس و نیوتون) و حساب احتمالات (با پاسکال) سهیم بوده- حقیقتا «راه حلی واقعا شگفت‌انگیز» برای این قضیه کشف کرده بود؟؟در راه اثبات قضیه در طی سالیان دراز ریاضیدانانی مثل اویلر، سوفی ژرمن، لژاندر، لامه و دیریکله تلاش کردند، اما آنها فقط روی حالات خاض این قضیه کار کردند.با وجود جوایزی که برای حل مساله فرما گذاشته شده بود، این قضیه، همچنان حل نشده باقی ماند و رکورددار بیشترین اثباتهای غلط شد. مثلاً بیش از ۱۰۰۰ اثبات غلط در بین سالهای ۱۹۰۸ تا ۱۹۱۲ منتشر گردید.
​

 

[amininho]

داستان اثبات آخرین قضیه فرما

فصل پایانی داستان قضیه آخر فرما در سال ۱۹۵۵ آغاز گردید. یوتاکا تانیاما آغازگر این حرکت اساسی بود. وی حدسی را بوجود آورد که به حدس شیمورا-تانیاما-ویل مشهور گردید. این حدس حاکی است که هر خم بیضوی را که بر اعداد گویا تعریف می‌شود، می‌توان به وسیلهٔ توابع پیمانه‌ای بیضوی، پارامتری کرد. در سال ۱۹۸۶، ارتباطی بین حدس شیمورا-تانیاما-ویل و قضیهٔ آخر فرما توسط فری و سر ایجاد شد. در همین دهه کن ریبت، بر اساس کارهای انجام شده توسط سر، نشان داد که قضیه آخر فرما از حدس شیمورا-تاناما-ویل نتیجه می‌شود.

کنجکاوی دوران کودکی، انگیزه‌ای برای حل قضیه فرما در بزرگسالی
اندرو جان وایلز (Andrew John Wiles) در ۱۱ آوریل ۱۹۵۳ در کمبریج انگلستان به دنیا آمد. علاقهٔ او به قضیهٔ فرما زمانی که او کودکی ده ساله بود شدت گرفت. او در این باره می‌گوید:
«من ده ساله بودم که روزی در کتابخانه‌ای عمومی یک کتاب ریاضی پیدا کردم. در این کتاب مطالب تاریخی بسیاری دربارهٔ مساله‌ای آمده بود. من در حالی که فقط ده سالم بود، صورت آن مسأله را فهمیدم و سعی کردم آن را ثابت کنم. مسالهٔ جالبی بود. این مساله همان قضیهٔ آخر فرما بود!»

​

​

اندرو وایلز در دهه ۱۹۸۰ به دانشگاه پرینستون رفت. وی پس از شروع کار روی قضیه فرما تقریباً تحقیقات دیگرش را کنار گذاشت. تنها کسی که از کار کردن وایلز روی قضیه آخر فرما اطلاع داشت، همسرش بود.سرانجام در سال ۱۹۹۳، وایلز در تنهایی اتاق خودش به به اثبات حالت خاصی از حدس شیمورا-تانیاما-ویل و قضیه آخر فرما موفق شد و در حالی که از اشتیاق نزدیک شدن به حل مساله فراموش کرده بود که از اتاق بیرون بیاید و ناهار بخورد، در عصر یک روز بهاری مساله را حل کرد.وایلز در این باره می‌گوید:
« … این مهم‌ترین لحظهٔ زندگی کاری من بود. چیزی که ممکن است هرگز دوباره تکرار نشود!… پس از اتمام کار، حدود بیست دقیقه گیج بودم. سپس در طول روز در دانشکده قدم می‌زدم. وقتی به پشت میزم برگشتم، آنرا همانجا دیدم! هنوز همانجا بود !!…»وایلز ترتیبی داد که اعلام کنند او در سه جلسه می خواهد حل مساله تانیاما-شیمورا رو ارائه دهد. هیچ کس در آن موقع اطلاع نداشت که این مساله ربطی به قضیه فرما دارد. در انتهای جلسه سوم، حضار به آهستگی متوجه ارتباط این دو مسإله و کشف عظیم وایلز شدند. بعد از اثبات مساله اول، وایلز فقط صورت مساله قضیه ی فرما رو روی تخته نوشت و گفت:‌ «فکر می‌کنم تا همین جا بس باشه!»وایلز با حل این مساله سریعا به عنوان یکی از معروف‌ترین ریاضیدان‌های زمان خود شناخته شد. گرچه ایرادهایی در حل مسأله بود و وایلز نیاز به دو سال دیگه برای تکمیل اثبات قضیه داشت، ولی نهایتا در سال ۱۹۹۵، یعنی بعد از گذر بیش از ۳۵۰ سال از مطرح شدن قضیه، با مقاله‌ای تحت عنوان «خمهای بیضوی و پیمانه‌ای و قضیه آخر فرما»، قضیه را رسما اثبات کرد.

​

​

سیل تبریک‌ها و جوایز مختلف از سال ۱۹۹۵ به بعد به سوی او جاری شد، در حالی که در طول سال‌ها تلاشش برای اثبات قضیه فرما، به خاطر ترک تحقیقات دیگر و کمرنگ شدن کارش مورد سرزنش و مؤاخذه قرار گرفته بود!واضح است که حلی که فرما در ابتدا ادعا کرده بود بزرگ‌تر از آن است که در حاشیه ی کتاب جا شود، این حل نبوده است. چرا که روش‌های است**ده شده توسط وایلز در زمان فرما هنوز وجود نداشتند. معمای تاریخی همچنان باقی است! هرگز معلوم نخواهد شد که حل فرما چه بوده است؛ آیا راهی ساده‌تر برای حل این مساله وجود دارد که صدها سال به ذهن کسی نرسیده است؟ و یا آن که فرما هم مانند بسیاری از ریاضیدان‌های پس از خودش، راه حلی ناصحیح از مساله داشته است!متن کامل حل قضیه فرما را در ۱۰۹ صفحه می‌توانید از این لینک دانلود کنید.

دوستان منم تا یه جایی داشتم پیش میرفتم که دیدم این آقا اثباتش کرده
ولی به نتایج جالبی رسیدم ​

 

[parisa]

با اجازه ارسال کننده تاپیک اینم من اضافه میکنم..

عدد صحیح مثبتی وجود ندارد که در معادله X^n+Y^n=Z^n که n عدد طبیعی بزرگتر از ۲ باشد صدق کند.
هنگامی که پیر دو فرما ریاضیدان قرن هفدهم این یادداشت ها رادر حاشیه ی ترجمه ی کتاب حساب دیوفانتوس نوشت کمتر کسی می دانست این نظر چه اثری بر تحولات ریاضی ۳۵۰سال پس از آن خواهد داشت. آیا او واقعا آن را حل کرده بود ؟آیا صرفا شوخی می کرد ؟هیچ کس نمی تواند قطعا اظهار نظر کند اما آنچه ماقطعا می دانیم این است که به یکی از مشهور ترین مسائل حل نشده ی تاریخ ریاضی تبدیل شد مانند سه مساله مشهور دوران باستان اصل پنجم اقلیدس و مساله ی پل کونیزبرگ آخرین قضیه فرما نیز برای قرن ها افکار و کشفیات ریاضی را پدید آورد.جامعه ی ریاضی دانان بسیار به منحنی بیضوی پیمانه ای (مدولی) آخرین قضیه فرما و اثر ۲۰۰ صفحه ای اندرو جی . وایلز استاد دانشگاه پرینستون علاقمندی نشان داد و به هیجان آمد . او با معرفی اثرش در دانشگاه کمبریج (در ژوئن ۱۹۹۳)با اعلام این که پیش بینی شیمورا –تانیاما-ول را اثبات کرده است که ریاضیدانان احساس می کردند کلید اثبات آخرین قضیه ی فرمارا در خور دارد سخنانش را به اوج رساند این کار وایلز به آخرین قضیه ی فرما خاتمه داد احساس مثبتی در محافل ریاضی پدید آورد.در طی چند قرن هزاران ((برهان))برای قضیه فرما ارائه شده است اما هیچ یک تاکنون پاسخگوی بررسی های موشکافانه نبوده اند نه این که قضیه ی فرما بسیار خارق العاده است بلکه چون فرما گفته است ((برهان شگفت انگیزی یافته ام))-راه حل او (دلیل او) زیبایی این قضیه است –این قضیه کشفیاتی را از جمله در نظریه ی اعداد رمز شناسی و رمزنگاری باعث شده است.
وایلز در نوجوانی مجذوب قضیه فرما شد ه بود. اما به کاوش در برهان او تا هنگامی که شیو های امکانپذیر نیافت نپرداخته بود. او برهان خود را حاصل کمک و تلاش ریاضیدانان بسیاری می داند که پیش از او آمده بودند. در میان قله های تاریخی در رسیدن به این هدف لئونارد اویلر ریاضیدان قرن هجدهم را داریم که این قضیه را برای n=3 ثابت کرده بود . ارنست ای .کومر ریاضیدان آلمانی این قضیه را برای تمام اعداد کوچکتر از ۱۰۰ به جز سه عدد ثابت کرده بود. کامپیوتر های امروزی نشان داده اند که برای نخستین چهار میلیون عدد طبیعی جوابی برای آن نیست . در سال ها ی ۱۹۵۰ یوکاتا تانیاما نظریه ی احتمالی خود را در مورد منحنی های بیضوی و ساختار ها آنها در یک صفحه ی هذلولی مطرح کرد. در سال ۱۹۸۰ گرهارد فری این مساله را مطرح کرد که اگر پیش بینی تانیاما برای نوع خاصی از بیضوی (به نام نیمه پایدار ) درست باشد آنگاه قضیه ی فرما را می توان اثبات کرد . هنگامی که کنت ای. ریبت قضیه ی فرما را اثبات کرد وایلز تصمیم گرفت قضیه ی فرما را دنبال کند . ارآن زمان او مدت هفت سال شدیدا به کار پرداخت. در ماه مه ۱۹۹۳مقاله ای از مازور از دانشگاه هاروارد توجه او را جلب کرد. این مقاله روشی عددی را شرح داده بود که بیش از صد سال قدمت داشت و در نهایی کردن برهان او بسیار اهمیت داشت.