بقاي انرژي

[parisa]

سؤال

يك فلاخن از يك طناب‌كسشان طبيعي به طول 2a و كشش α بين دو نقطه‌ي ثابت در دوانتهاي فلاخن تشكيل شده كه با همان فاصله‌ي 2a از يكديگر فاصله دارند. سنگي به جرم m در وسط اين فلاخن قرار داده و آن را به اندازه‌‌ي 3a/4 كشيده و سپس آن را رها مي‌كنيم. سرعت سنگ رها شده را به‌دست آوريد.

 

[parisa]

جواب

در اين‌جا چون شرايط اوليه و نهايي را داريم بنابراين هيچ معادله‌ي حركتي به‌دست نمي‌آوريم؛ به جاي معادله‌ي حركت از شرايط مرزي انرژي استفاده مي‌كنيم. شرايط اوليه:در اين حالت سنگ در حالت سكون بوده و انرژي جنبشي صفر است. مسأله‌ي اصلي پيدا كردن انرژي داخلي طناب كشيده شده‌ي كشسان است. در حالت اوليه المان طول اين‌است:

رابطه‌ي (1)بنابراين كشش آن يك چهارم طول كش a است. كش فلاخن α بوده در حالي كه كشش المان 2α است. (اگر كل فلاخن و المان تنش يكساني داشتند، كشش فلاخن دوبرابر كش المان مي‌شد.) بنابراين انرژي اوليه المان برابر است با:

رابطه‌ي (2)انرژي كُل E چنين مي‌شود:

رابطه‌ي (3) كه عبارت غير صفر، همان انرژي داخلي فلاخن است. حالت نهايي:
در حالت نهايي سنگ با سرعت نامعلوم v در حال حركت است و در نتيجه انرژي جنبشي آن

خواهد بود. در حالت نهايي هر المان فلاخن كشش طبيعي خود را داشته، و بنابراين انرژي كُل صفر است. انرژي كُل E:

رابطه‌ي (4)تا هنگامي كه انرژي كُل پايستار است، مقدارهاي اوليه و نهايي انرژي برابر هستند. در نتيجه:

رابطه‌ي (5)و سرعت سنگ پرتاب شده چنين به‌دست مي‌آيد: