تحلیل ابعادی

[parisa]

اطلاعات اولیهسنگ بنای علم فیزیک کمیت‌های فیزیکی است که ما برای بیان قوانین فیزیک از آنها استفاده می‌کنیم. از جمله می‌توان از طول ، جرم ، زمان ، نیرو ، سرعت ، چگالی ، مقاومت ویژه و بسیاری کمیت‌های دیگر نام برد. بسیاری از این واژه‌ها را در گفتگوهای روزمره خود بکار می‌بریم. مثلا ممکن است گفته شود که من این کار را هر قدر هم طول بکشد، بخاطر شما با تمام نیرو انجام می‌دهم.

هر کدام از این واژه‌های بکار رفته در این جمله در دنیای فیزیک مقادیر خاصی دارند و به یک مفهوم خاصی بکار می‌روند. هر کمیت فیزیکی علاوه بر تعریفی که برای آن صورت می گیرد دارای یک دیمانسیون خاصی است. البته این دیمانسیون بسته به سیستم یکایی که بکار می‌بریم، متفاوت خواهد بود. به عنوان مثال یکای طول در دستگاه SI متر است ولی در دستگاه گاوسی فوت است.
یکاهای اصلی

کمیت	طول	جرم	زمان	شدت جریان	دما​	مقدار ماده	روشنایی
واحد	L	M	T	A​	K یا θ	__مول	شمع

در سیستم بین المللی یکاها چند یکای اصلی وجود دارد که یکای سایر کمیت‌ها بر حسب این یکاهای اصلی تعیین می‌شوند. در سیستم SI که معمولا بیشتر بکار می‌رود، این سه کمیت اصلی عبارتند از طول ، جرم و زمان ، که یکای آنها به ترتیب متر ، کیلوگرم و ثانیه است. به عنوان مثال یکای نیرو ، نیوتن است که بر حسب یکاهای اصلی به صورت Kgm/S[SUP]2[/SUP] تعریف می‌شود. بنابراین اگر بخواهیم دیمانسیون نیرو را تعیین کنیم، به صورت MLT[SUP]2[/SUP] خواهد بود.
اهمیت تحلیل ابعادییکی از مهمترین ویژگی‌های تحلیل ابعادی ، استفاده از آن برای تشخیص غلط یا درست بودن یک معادله فیزیکی است. یعنی در یک معادله معتبر فیزیکی ابعاد یا دیمانسیون تمام جمله‌ها باید یکسان باشد. نمادهای ابعادی مربوط به کمیت‌های مختلف را می‌توان کاملا مانند کمیت‌های جبری در نظر گرفت و آنها را درست مانند عواملی که در معادلات هستند، ترکیب یا حذف کرد. به عنوان مثال اگر رابطه نیرو را در نظر بگیریم به صورت F=ma می‌باشد که در این رابطه F بیانگر نیرو ، a شتاب خطی و m جرم است.

دیمانسیون نیرو به صورت MLT[SUP]2[/SUP] است. بنابراین دیمانسیون کمیت‌های طرف دوم نیز باید MLT[SUP]2[/SUP] باشد تا اینکه این رابطه از نظر فیزیکی درست باشد. دیمانسیون m برابر M بوده و دیمانسیون شتاب برابر LT[SUP]2[/SUP] است، لذا دیمانسیون حاصل ضرب ma برابر MLT[SUP]2[/SUP] است که با دیمانسیون طرف اول برابر است.
جدول کمیات فیزیکی و یکاهای آنها

کمیت	دیمانسیون	کمیت	دیمانسیون	کمیت	دیمانسیون
زمان نیم عمر به ثانیه	T	ضریب تلاشی	λ=0.639/T → λ = T[SUP]-1[/SUP]	همگرایی ، واگرایی ، دیوپتری	C=1/f → C= L[SUP]-1[/SUP]
پراکندگی نور	α =1/λ[SUP]4[/SUP] → α = L[SUP]4[/SUP]	انرژی نورانی	W =hυ/λ→ W=Ml[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]	ثابت پلانک	W=nhf → h=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-1[/SUP]
چگالی خطی	μ=m/l → μ=ML[SUP]-1[/SUP]	ضریب سختی فنر	K= F/∆X → K=MT[SUP]-2[/SUP]	ثابت عمومی گازها	PV=nRT→ RML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]m[SUP]-1[/SUP]K[SUP]-1[/SUP]
دامنه ، بعد ، انواع طول موج به متر	L	شدت صوت	I=MT[SUP]-3[/SUP]→I=W/A.t	تشعشع به کوره	C= m/f→ C= ML[SUP]-1[/SUP]
مقدار الکتریسیته	Q=It→Q=AT	اختلاف پتانسیل ، نیروی ضد محرکه ، نیروی القایی ، پتانسیل	W=QV→v=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-3[/SUP]A[SUP]-1[/SUP]	ضریب مقاومت	ρ=R.a/θ ρ=ML[SUP]3[/SUP]T[SUP]-3[/SUP]A[SUP]-2[/SUP]
ارتفاع صوت یا تواتر به هرتز	T[SUP]-1[/SUP]	ضریب جاذبه کولنی	F=KQ[SUB]1[/SUB]Q[SUB]2[/SUB]/d[SUP]2[/SUP]→K=ML[SUP]3[/SUP]T[SUP]-4[/SUP]A[SUP]-2[/SUP]	ضریب خودالقایی	W=1/2LI[SUP]2[/SUP]→L=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]A[SUP]-2[/SUP]
شار مغناطیسی	e=dφ/dt→φ=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]A[SUP]-1[/SUP]	شدت میدان مغناطیسی	φ=NBA B=MT[SUP]-2[/SUP]A[SUP]-1[/SUP]	مقاومت ظاهری ، حقیقی ، القایی ، ظرفیتی	V=IR R=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-3[/SUP]A[SUP]-2[/SUP]
الکترون ولت	e.v =ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]	شدت میدان الکتریکی	E=V/d E=MLT[SUP]-3[/SUP]A[SUP]-2[/SUP]	ظرفیت خاذن	C=Q/V C=M[SUP]-1[/SUP]L[SUP]-2[/SUP]T[SUP]4[/SUP]A[SUP]2[/SUP]
قابلیت گذردهی خلا	C=ε[SUB]0[/SUB]KA/d ε=M[SUP]-1[/SUP]L[SUP]-3[/SUP]T[SUP]4[/SUP]A[SUP]2[/SUP]	ضریب هدایت الکتریکی	1/ρ=M[SUP]-1[/SUP]L[SUP]-3[/SUP]T[SUP]3[/SUP]A[SUP]2[/SUP]

ضریب گرمای مقاومت ، اختلاف فاز ، شدت نسبی احساس صوت ، ضریب اتمیسیته گاز دیمانسیون ندارد.


دیمانسیون معادلات

کمیت	دیمانسیون	کمیت	دیمانسیون	کمیت	دیمانسیون
سطح	A=ab →L[SUP]2[/SUP]	حجم	V=abc→L[SUP]3[/SUP]	چگالی	ρ=m/V→ML[SUP]-3[/SUP]
سرعت	v=d/t→LT[SUP]-1[/SUP]	شتاب	a=V/t→(LT[SUP]-1[/SUP])/T;LT[SUP]-2[/SUP]	نیرو و تمام نیروها	F=ma→MLT[SUP]-2[/SUP]
کار _ انرژی _ گرما مانند انرژی پتانسیل	W=F.d→MLT[SUP]-2[/SUP]L=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP] E[SUB]p[/SUB]=mgh→MT[SUP]-2[/SUP]L[SUP]2[/SUP]	سرعت زاویه‌ای	W=2π/T→T[SUP]-1[/SUP]	اندازه حرکت خطی	P=mv→MLT[SUP]-1[/SUP]
ضربه نیرو	F.t→MLT[SUP]-2[/SUP]T = MLT[SUP]-1[/SUP]	توان	P=W/t→(ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]2[/SUP])/T = ML[SUP]2[/SUP]T	فرکانس	f=1/T→T[SUP]-1[/SUP]
پریود	T→T[SUP]-1[/SUP]	ممان اینرسی	I=mr[SUP]2[/SUP]→ML[SUP]2[/SUP]	گشتاور نیرو	τ=Fxr→MLT[SUP]-2[/SUP]L=ML[SUP]2[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]
ثابت فنر	K=F/∆X→MLT[SUP]-2[/SUP]	نیروی کشش نخ	MLT[SUP]-2[/SUP]	ضریب اصطکاک	دیمانسیون ندارد.
وزن	W=mg→MT[SUP]-2[/SUP]	ضریب ثابت جهانی نیوتن	G=Fd[SUP]2[/SUP]/m[SUB]1[/SUB]m[SUB]2[/SUB]→(MLT[SUP]-2[/SUP]L[SUP]2[/SUP])/M[SUP]2[/SUP]=M[SUP]-1[/SUP]L[SUP]3[/SUP]T[SUP]-2[/SUP]