توابع تركيبي در ديمانسيون

[parisa]

سؤال

كميت‌هاي فيزيكي همواره بُعد دارند كه از ضرب توان‌هاي متعدد واحدهاي اصلي نتيحه‌ مي‌شوند. براي مثال انرژي را در واحد ژول اندازه مي‌گيريم. (يك ژول = kg*m[SUP]2[/SUP]/sec[SUP]2[/SUP]). چرا هيچ كميتي نيست كه از واحدهاي اصلي نتيجه نشده باشد ولي توابع پيچيده‌اي تشكيل مي‌شود و گويي مستقل از كميت‌هاي اصلي است ؟

جواب

فقط قانون توان‌ها (حاصل قانون توان‌ها) پايه‌ي تعريف مفهوم "يكا" را مي‌سازد.جزئيات:مجموعه‌اي از يكاهاي اصلي كه براي اندازه‌گيري خصوصيات دسته‌اي از پديده‌هاست، دستگاه يكاها ناميده مي‌شود. مثلاً گرم ،‌سانتي‌متر و ثانيه كه دستگاهي‌ست كه تعداد بسياري از پديده‌ها را مي‌سازد. همچنين كيلوگرم، متر و ثانيه نيز دستگاه يكاي ديگري را تشكيل مي‌دهند. هر دو دستگاه بر يكاهاي: جرم M، طول L، زمان T تكيه دارند و بايد گفت كه آن‌ها وابسته به گروهي خاص از يكاها هستند. به عبارت بهتر كيلوگرم - نيرو، سرعت نور و دقيقه هم دستگاه ديگري را تشكيل مي‌دهند يعني به دسته‌ي متفاوتي از يكاها وابسته‌اند. اين تابع عاملي را تعيين مي‌كند كه به‌وسيله‌ي مقادير عددي، كميت‌هاي فيزيكي بين دو حالت دستگاه از يكاها را در همانندي تغيير مي دهد كه تابع ديمانسيون ناميده مي‌شود. {اين تابع عاملي را معين مي‌كند كه با مقادير عددي يك كميت‌ فيزيكي تغيير مي‌كنند با انتقال بين دو دستگاه يكا درون دسته‌ي يكساني به‌ نام تابع ديمانسيون قرار مي‌گيرد. مثلاً تابع ديمانسيون براي چگالي جرمي L3 /M است.اين رايطه بيان مي‌كند كه اگر يكاي جرم با ضريب 2 و يكاي طول با ضريب 4 افزايش يافته باشند عدد كميت يكسان با ضريب 32 افزايش مي‌يابد.}آیا تابع دیمانسیونی مانند sinM*logT وجود دارد؟همه ی سیستم های فیزیکی درون یک نوع سیستم اندازه گیری معادل هستند و هیچ دستگاه واحد اندازه گیری متمایز یا ارجحی وجود ندارد. حالا به تعدادی از دستگاه های اندازه گیری به صورت کُلی نگاه می کنیم. مثلاً دستگاهی که براساس واحدهای L، M و T است. کمیت مکانیکی A را در نظر بگیرید که بستگی به همه ی کمیت های اصلی دارد ({A}=F(L,M,T)). حالا دستکاه اندازه گیری 1 و 2 را در نظر بگیرید که از دستکاه اصلی L,M,T با کاهس واحدها به فاکتورهای L[SUB]1[/SUB],M[SUB]1[/SUB],T[SUB]1[/SUB]و L[SUB]2[/SUB],M[SUB]2[/SUB],T[SUB]2[/SUB], دارند. اگر مقدار کمیت مکانیکی مورد نظر ما در واحدهای اصلی A بوده باشد، در واحد جدید L[SUB]2[/SUB],M[SUB]2[/SUB],T[SUB]2[/SUB], و A[SUB]2[/SUB]=A*F(L[SUB]2[/SUB],M[SUB]2[/SUB],T[SUB]2[/SUB]) خواهد بود. در نتیجه:

A[SUB]1[/SUB]/A[SUB]2[/SUB]=F(L[SUB]1[/SUB],M[SUB]1[/SUB],T[SUB]1[/SUB])/F(L[SUB]2[/SUB],M[SUB]2[/SUB],T[SUB]2[/SUB]​

با این حال از دستگاه 1 به عنوان دستگاه پایه استفاده می کنیم و در نتیجه به صورت دستگاه 2 با فاکتورهای L[SUB]2[/SUB]/L[SUB]1[/SUB], M[SUB]2[/SUB]/M[SUB]1[/SUB], T[SUB]2[/SUB]/T[SUB]1[/SUB]حالت تصحیح شده و کاهش یافته ی دستگاه 1 رفتار می کند و بنابراین

L[SUB]2[/SUB]/L[SUB]1[/SUB], M[SUB]2[/SUB]/M[SUB]1[/SUB], T[SUB]2[/SUB]/T[SUB]1[/SUB] ​

با مقایسه ی صورت های می بینیم که :

F(L[SUB]1[/SUB],M[SUB]1[/SUB],T[SUB]1[/SUB])/F(L[SUB]2[/SUB],M[SUB]2[/SUB],T[SUB]2[/SUB])= F(L[SUB]2[/SUB]/L[SUB]1[/SUB], M[SUB]2[/SUB]/M[SUB]1[/SUB], T[SUB]2[/SUB]/T[SUB]1[/SUB])​

حالا اگر از هر دو طرف مشتق نسبت به L[SUB]2[/SUB] بگیریم، و آنگاه فرض های فوق را اعمال کنیم (L[SUB]2[/SUB]=L[SUB]1[/SUB]=L M[SUB]2[/SUB]=M[SUB]1[/SUB]=M و T[SUB]2[/SUB]=T[SUB]1[/SUB]=T) داریم:

D[SUB]L[/SUB]F(L,M,T)/F(L,M,T)=(1/L)D[SUB]L[/SUB]F(1,1,1)=c/L

که C، D[SUB]L[/SUB]F(1,1,1) مشخص می کند و D[SUB]L[/SUB] مشتق جزئی را نسبت به L مشخص می کند. با انتگرال گیری معادله ی آخر نسبه به L:

F(L,M,T)=L[SUP]c[/SUP]G(M,T),

که G همچنان تابع دو متغیره ی نامعینی است. با تکرار روش بالا برای M و T به این نتیجه می رسیم که متغیرهای باقیمانده باید به صورت قانون توانی ظاهر می شود و در نتیجه:

F=g L[SUP]c[/SUP] M[SUP]d[/SUP] T[SUP]f[/SUP]​

که g, c, d, f ثابت هستند. این ثابت می کند که تایع دیمانسیون باید تک جمله ای باشد.