توزیع آماری ماکسول - بولتزمن

[parisa]

[h=2]توزیع آماری ماکسول - بولتزمن

مکانیک آماری، یکی از مباحث مطرح در فیزیک است که به سیستم‌هایی با تعداد متغیرهای بسیار زیاد می‌پردازد. این متغیرها می‌توانند ذراتی چون اتمها، مولکولها، یا ذرات بنیادی باشند که تعداد آن‌ها می‌تواند هم‌مرتبه با عدد آووگادرو باشد. در این مبحث، با استفاده از خاصیتهای میکروسکوپی این ذرات مانند ساختار اتمی و برهمکنش بین آنها، اطلاعاتی در مورد خواص ماکروسکوپی سیستم مانند فشار، انتروپی و انرژی آزاد گیبس، از طریق محاسبات و روشهای آماری به دست می‌آید. مثلاً معادله‌های حالت در ترمودینامیک توسط مدلهای میکروسکوپی-آماری مشتق می‌شوند.


هدف مکانیک آماری بررسی آمار توزیع پذیری ذرات در محیط های گوناگون است . یعنی آمار کلاسیکی ماکسول بولتزمن ، آمار بوز – انیشتین و آمار فرمی – دیراک .

توزیع ماکسول–بولتزمن ( Maxwell–Boltzmann distribution )‏ تابعی است که توزیع سرعت ذرات را در گاز مشخص می‌کند. خصوصیت این گاز ایده‌آل این است که در قواصل کوچک به آزادی حرکت می‌کند و حتی برخورد با دیگر ذرات دارد اما برهم‌کنشی ندارد. این توزیع تابعی از دمای سامانه, جرم ذرات, و سرعت ذرات است. ذره در اینجا هم به معنی مولکول و هم به معنی ذره‌است.

توزیع ماکسول–بولتزمن در گاز ایده‌آل نزدیک به تعادل ترمودینامیکی با اثرات کوانتمی ناچیز و سرعت غیرنسبیتی صحیح است. همچنین این توزیع پایه‌های نظریه جنبشی, که خودش توضیحی ساده از خصوصیات بنیادی گازها مانند فشار را توضیح می‌دهد. در سرعت‌های نسبیتی تابع توزیع «ماکسول–جوتنر» استفاده می‌شود.

این توزیع به نام جیمز کلرک ماکسول و لودویگ بولتزمان است.

منبع : ویکی پدیا .
​

 

[parisa]

جعبه ای را در نظر بگیرید که در آن شش مولکول یکسان (غیر قابل تمیز ) از یک گاز وجود دارد . در هر لحظه یک مولکول مشخص یا در نیمه چپ است یا در نیمه راست ؛ چون حجم دو نیمه جعبه برابرند ، این مولکول شانس یا احتمال یکسانی دارد ، که در یکی از دو نیمه باشد .

​

حالتهای متفاوتی که این مولکولها در سمت چپ و راست می توانند قرار بگیرند را می نویسم . در حالت کلی هر پیکربندی داده شده به تعداد راه های مختلفی قابل دستیابی است . این آرایشهای مختلف مولکولها ، را میکرو حالت می نامند . حال می خواهیم تعداد میکرو حالتهایی را که متناظر با یک متناظر با یک پیکر بندی معینی باشند محاسبه کنیم .

	n[SUB]1[/SUB]	n[SUB]2[/SUB]	تعداد میکرو حالتها
I	6	0	1
II	5	1	6
III	4	2	15
IV	3	3	20
V	2	4	15
VI	1	5	6
VII	0	6	1

​

تعداد کل میکرو حالتها = 64
فرض کنید N مولکول داریم که با n[SUB]1[/SUB] مولکول در نیمه جعبه و با n[SUB]2[/SUB] مولکول در نیمه دیگر آن توزیع شده اند .
n[SUB]2[/SUB]+n[SUB]1[/SUB]=N
فرض کنید که مولکولها را هر چند وقت یکبار «با دست» توزیع میکنیم . اگر N=6 باشد ، مولکول اول را می توان با شش راه مستقل انتخاب کرد ؛ یعنی هر یک از شش مولکول را میتوان برداشت . مولکول دوم را پنج راه ، با هر کدام از پنج مولکول باقی ماند می توان برداشت ؛ و نظیر آن . تعداد کل راههایی که تمام شش مولکول را می توان انتخاب کرد عبارت است از ضرب این راههای مستقل (که می شود 720 =!6 ) نشان داد.