سؤال
فرض كنيد كه در زير زمين حيات وجود داشته باشد و گرماي داخل زمين هم از طريق خورشيد تأمين مي‌شود. در اين صورت اگر روي سطح زمين تابستان باشد، چند كيلومتر بايد داخل زمين برويم تا فصل زمستان باشد؟ تمام كميت‌هاي مورد نياز خود را تخمين بزنيد.
در این رابطه r[SUB]2[/SUB] فاصله‌ي یک نقطه‌ي فرضی داخل زمین و r[SUB]1 [/SUB]شعاع سطح زمین است. اگر این مجموعه را در حال تعادل در نظر بگیریم یعنی دمای همه‌جا ثابت بماند می‌توان ادعا کرد q برای همه‌ي لایه‌ها ثابت است لذا رابطه‌ي فوق به این شکل در می‌آید:
در نتیجه:
با انتگرال‌گیری از این رابطه داریم:
حالا باید برای k و q مقادیری را تخمین بزنیم. برای q می‌دانیم شدت تابش خورشید برابر شدت یک لامپ 100 واتی در ابعاد متر مربع است. پس:
K هم حدودا [SUP]5-[/SUP]10 است با این حساب r[SUB]2[/SUB] بدست می‌آید.
همان‌طور که می‌بینید r[SUB]2 [/SUB]بسیار به سطح زمین نزدیک است. با این حساب سر انگشتی می‌توان ادعا کرد علت دماهای بالا زیر زمین، تابش خورشید نیست.
فرض كنيد كه در زير زمين حيات وجود داشته باشد و گرماي داخل زمين هم از طريق خورشيد تأمين مي‌شود. در اين صورت اگر روي سطح زمين تابستان باشد، چند كيلومتر بايد داخل زمين برويم تا فصل زمستان باشد؟ تمام كميت‌هاي مورد نياز خود را تخمين بزنيد.
پاسخ
کره‌ي زمین را می‌توان یک کره‌ي توپر با ضریب رسانندگی k تقریب زد. اگر تنها تابش خورشید به سطح زمین را به‌عنوان منبع نور انرژی در نظر بگیریم کره زمین با آهنگ w از خورشید انرژی می‌گیرد. اگر این انرژی از طریق رسانندگی به لایه‌های درونی زمین منتقل شود می‌توان نوشت:
| (Q=kA(t[SUB]2[/SUB]-t[SUB]1[/SUB])/(r[SUB]2[/SUB]-r[SUB]1[/SUB] |
در این رابطه r[SUB]2[/SUB] فاصله‌ي یک نقطه‌ي فرضی داخل زمین و r[SUB]1 [/SUB]شعاع سطح زمین است. اگر این مجموعه را در حال تعادل در نظر بگیریم یعنی دمای همه‌جا ثابت بماند می‌توان ادعا کرد q برای همه‌ي لایه‌ها ثابت است لذا رابطه‌ي فوق به این شکل در می‌آید:
| Q=k4πr[SUP]2[/SUP]dt/dr |
در نتیجه:
| dt=(q/4πk)dr/r[SUP]2[/SUP] |
با انتگرال‌گیری از این رابطه داریم:
| (t[SUB]2[/SUB]-t[SUB]1[/SUB])=(q/4πk)(1/r[SUB]2[/SUB]-1/r[SUB]1[/SUB]) |
حالا باید برای k و q مقادیری را تخمین بزنیم. برای q می‌دانیم شدت تابش خورشید برابر شدت یک لامپ 100 واتی در ابعاد متر مربع است. پس:
| (q=100w/m[SUP]2[/SUP](4πr[SUB]1[/SUB][SUP]2[/SUP] |
K هم حدودا [SUP]5-[/SUP]10 است با این حساب r[SUB]2[/SUB] بدست می‌آید.
همان‌طور که می‌بینید r[SUB]2 [/SUB]بسیار به سطح زمین نزدیک است. با این حساب سر انگشتی می‌توان ادعا کرد علت دماهای بالا زیر زمین، تابش خورشید نیست.