سؤال
مسافران در بيابان گاهي صحنه‌اي را مشاهده مي‌كنند كه به يك درياچه يا آبگير شباهت دارد. در چه فاصله‌اي از مسافر چنين صحنه‌اي قابل‌مشاهده است؟ فرض كنيد كه سرعت نور در بيابان نزديك سطح زمين طبق رابطه‌ي ذيل تغییر مي‌كند كه در آن C[SUB]0[/SUB] «سرعت نور در سطح زمين» و z «ارتفاع از سطح زمين» است؟
جواب
تغيير سرعت در ارتفاع‌هاي مختلف، نشان‌دهنده‌ي وجود محيطي است كه ضريب شكست آن با ارتفاع تغيير مي‌كند. براي داشتن تصور بهتر از مسأله مي‌توانيم زمين (0=z) تا ارتفاع دلخواه (z=h) را به n قسمت مساوي تقسيم كنيم به‌طوري كه ارتفاع هر قسمت Δz باشد (n>>1).
رابطه‌ي 1
حالا مي‌خواهيم مسير يك پرتو دلخواه را در چنين محيطي دنبال كنيم. براي اين كار ابتدا به رابطه‌اي كه براي سرعت نور داريم توجه مي‌كنيم:
مي‌بينيم كه با افزايش ارتفاع، سرعت نور كم‌تر مي‌شود يعني محيط غليظ‌تر و ضريب شكست بيش‌تر مي‌شود. پس هرچه پرتو نور به ارتفاع‌هاي بالاتر نفوذ مي‌كند به خط عمود نزديك‌تر مي‌شود و مطابق شكل (1) مسير نور خميده مي‌شود.
رابطه‌ي 1
حالا مي‌خواهيم مسير يك پرتو دلخواه را در چنين محيطي دنبال كنيم. براي اين كار ابتدا به رابطه‌اي كه براي سرعت نور داريم توجه مي‌كنيم:
مي‌بينيم كه با افزايش ارتفاع، سرعت نور كم‌تر مي‌شود يعني محيط غليظ‌تر و ضريب شكست بيش‌تر مي‌شود. پس هرچه پرتو نور به ارتفاع‌هاي بالاتر نفوذ مي‌كند به خط عمود نزديك‌تر مي‌شود و مطابق شكل (1) مسير نور خميده مي‌شود.
مسافران در بيابان گاهي صحنه‌اي را مشاهده مي‌كنند كه به يك درياچه يا آبگير شباهت دارد. در چه فاصله‌اي از مسافر چنين صحنه‌اي قابل‌مشاهده است؟ فرض كنيد كه سرعت نور در بيابان نزديك سطح زمين طبق رابطه‌ي ذيل تغییر مي‌كند كه در آن C[SUB]0[/SUB] «سرعت نور در سطح زمين» و z «ارتفاع از سطح زمين» است؟
|
جواب
تغيير سرعت در ارتفاع‌هاي مختلف، نشان‌دهنده‌ي وجود محيطي است كه ضريب شكست آن با ارتفاع تغيير مي‌كند. براي داشتن تصور بهتر از مسأله مي‌توانيم زمين (0=z) تا ارتفاع دلخواه (z=h) را به n قسمت مساوي تقسيم كنيم به‌طوري كه ارتفاع هر قسمت Δz باشد (n>>1).
nΔz=h |
رابطه‌ي 1
حالا مي‌خواهيم مسير يك پرتو دلخواه را در چنين محيطي دنبال كنيم. براي اين كار ابتدا به رابطه‌اي كه براي سرعت نور داريم توجه مي‌كنيم:
|
مي‌بينيم كه با افزايش ارتفاع، سرعت نور كم‌تر مي‌شود يعني محيط غليظ‌تر و ضريب شكست بيش‌تر مي‌شود. پس هرچه پرتو نور به ارتفاع‌هاي بالاتر نفوذ مي‌كند به خط عمود نزديك‌تر مي‌شود و مطابق شكل (1) مسير نور خميده مي‌شود.
رابطه‌ي 1
حالا مي‌خواهيم مسير يك پرتو دلخواه را در چنين محيطي دنبال كنيم. براي اين كار ابتدا به رابطه‌اي كه براي سرعت نور داريم توجه مي‌كنيم:
|
|
مي‌بينيم كه با افزايش ارتفاع، سرعت نور كم‌تر مي‌شود يعني محيط غليظ‌تر و ضريب شكست بيش‌تر مي‌شود. پس هرچه پرتو نور به ارتفاع‌هاي بالاتر نفوذ مي‌كند به خط عمود نزديك‌تر مي‌شود و مطابق شكل (1) مسير نور خميده مي‌شود.
|
درست است كه Δxها و Δzها در يك حد، كوچك هستند اما:
بنابراين:
اما طبق قانون اسنل:
با جايگزيني اين رابطه در رابطه‌ي 1 داريم:
با استفاده از رابطه‌ي (3) و تقسيم دو طرف رابطه بر Δz رابطه‌اي بين tanØiها را به‌دست مي‌آوريم:
حال ممكن است فكر كنيد كه اين رابطه به چه دردي مي‌خورد. اگر ما امتدادي كه نور تحت آن وارد چشم ناظر مي‌شود را داشته باشيم مطابق شكل (3) محل تقاطع امتداد پرتو با سطح زمين - يعني نقطه‌اي كه به‌نظر مي‌رسد نور از آن‌جا به چشم مي‌رسد - را به‌دست مي‌آوريم و اين دقيقاً جواب مسأله است يعني فاصله‌ي ناظر تا سراب برابر است با:
بنابراين در حال حاضر هدف ما به‌دست آوردن tanØ[SUB]n[/SUB] است.با استفاده از رابطه‌ي (4) داريم:
اگر همين روند را ادامه دهيم مي‌فهميم كه:
اگر tanØ را به‌دست آوريم، مسأله حل مي‌شود. در واقع Ø[SUB]o[/SUB] همان زاويه‌ي حد (C) در سطح زمين است:
اما مي‌دانيم كه
|
