• توجه: در صورتی که از کاربران قدیمی ایران انجمن هستید و امکان ورود به سایت را ندارید، میتوانید با آیدی altin_admin@ در تلگرام تماس حاصل نمایید.

شيء در چه زاويه‌اي نسبت به نيم‌كره از آن جدا مي‌شود .

parisa

متخصص بخش
سؤال
فرض كنيد يك شيء كوچك به جرم
Com-Ph-032.gif
به‌طور ساكن در بالاي يك نيم‌كره به‌جرم
Com-Ph-032%20%281%29.gif
بر روي يك ميز قرار داده شده است (شكل 1). به شيء مذكور ضربه‌ي كوچكي وارد آمده به‌گونه‌اي كه به‌سمت پايين نيم‌كره حركت مي‌كند.در چه زاويه‌‌اي
Com-Ph-032%20%282%29.gif
نسبت به بالاي نيم‌كره، تماس ذره از نيم‌كره جدا مي‌شود؟


Com-Ph-032%20%286%29.gif
شكل 1
راه‌حل اول



فرض مي‌كنيم شيء كوچك به‌سمت راست حركت مي‌كند. هم‌چنين فرض مي‌كنيم
Com-Ph-032%20%2819%29.gif
و
Com-Ph-032%20%288%29.gif
به‌ترتيب سرعت شيء در امتداد افقي و عمودي باشد در اين صورت با توجه به حركت ذره به‌سمت راست مقادير سرعت‌ها به‌طور نسبي مثبت خواهند بود.
اگر فرض كنيم
Com-Ph-032%20%2819%29.gif
سرعت نيم‌كره و مثبت باشد با توجه به قانون «بقاي اندازه حركت» خواهيم داشت:


Com-Ph-032%20%289%29.gif




 

parisa

متخصص بخش
(رابطه‌ي 1)
اكنون اندازه حركت ذره را در زماني بررسي مي‌كنيم كه با زاويه‌ي
Com-Ph-032%20%284%29.gif
پايين‌تر از بالاي نيم‌كره قرار گرفته است. در چنين موقعيتي ذره بر روي سطحي مفروض با زاويه‌ي
Com-Ph-032%20%284%29.gif
خواهد بود. بنابراين مختصات سه‌گانه‌ي سرعت آن از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:


Com-Ph-032%20%2810%29.gif



(رابطه‌ي 2)براي بررسي صحت اين امر به اشيا در چهارچوب نيم‌كره نگاه كنيد. در چهارچوب مذكور، شيء با سرعت
Com-Ph-032%20%2811%29.gif
به‌سمت راست و با سرعت
Com-Ph-032%20%288%29.gif
به‌سمت پايين حركت مي‌كند. رابطه‌ي 2 بيانگر آن است كه شيء از زاويه‌ي صفر تا
Com-Ph-032%20%284%29.gif
بر روي نيم‌كره باقي مي‌ماند.
اكنون از «قانون بقاي اندازه حركت» استفاده مي‌كنيم. برحسب
Com-Ph-032%20%284%29.gif
، شيء در فاصله‌ي
Com-Ph-032%20%2813%29.gif
سقوط مي‌كند. با توجه به «قانون بقاي اندازه حركت» چنين خواهيم داشت:
Com-Ph-032%20%2814%29.gif




(رابطه‌ي 3)با مقايسه‌ي رابطه‌هاي 1 و 2 مقدار
Com-Ph-032%20%2815%29.gif
اين‌گونه محاسبه مي‌شود:
Com-Ph-032%20%2816%29.gif


 

parisa

متخصص بخش
(رابطه‌ي 4)كه در آن داريم:
Com-Ph-032%20%2817%29.gif




(رابطه‌ي 5)
رابطه‌ي 4 از .
Com-Ph-032%20%284%29.gif
برابر صفر آغاز و با افزايش
Com-Ph-032%20%284%29.gif
افزايش مي‌يابد. سپس به يك مقدار حداكثر قبل از افتادن رسيده و نهايتاً در
Com-Ph-032%20%2818%29.gif
به صفر بالغ مي‌شود. اما به هر حال،
Com-Ph-032%20%2819%29.gif
نمي‌تواند به‌طور عملي كاهش يابد به‌خاطر اين‌كه نيرويي براي اعمال بر روي شيء به‌سمت چپ وجود ندارد. بنابراين آن‌چه اتفاق مي‌افتد آن است كه
Com-Ph-032%20%2819%29.gif
ابتدا افزايش مي‌يابد كه در نتيجه‌ي اعمال نيروي غير صفري است كه تا زمان وجود تماس كماكان وجود دارد. اما پس از آن
Com-Ph-032%20%2819%29.gif
به مقدار حداكثر خود مي‌رسد كه كمك مي‌كند نيروي عمود بر نيم‌كره به صفر متمايل شده و تماس خود را با نيم‌كره قطع كند. پس از قطع تماس با سطح نيم‌كره، شيء به حكت خود با سرعت ثابت
Com-Ph-032%20%2819%29.gif
ادامه مي دهد.بنابراين هدف ما آن است كه مقداري از زاويه‌ي
Com-Ph-032%20%284%29.gif
را محاسبه كنيم كه در آن
Com-Ph-032%20%2815%29.gif
در رابطه‌ي 4 حداكثر باشد. بنابراين اين مقدار با مشتق گرفتن از رابطه‌ي 4 و مساوي صفر قرار دادن آن به‌دست مي‌آيد.

Com-Ph-032%20%2821%29.gif
 

parisa

متخصص بخش
(رابطه‌ي 5)اين رابطه‌ي مورد انتظار ما بود كه ميزان
Com-Ph-032%20%284%29.gif
را مشخص مي‌كند. يك معادله‌ي درجه‌ي‌ سوم كه به‌راحتي نمي‌توان مقدار
Com-Ph-032%20%284%29.gif
را توسط آن تعيين كرد. در حالت خاص:
Com-Ph-032%20%2822%29.gif
داريم:
Com-Ph-032%20%2823%29.gif



(رابطه‌ي 6)با آزمايش
Com-Ph-032%20%2824%29.gif
، يك جواب رابطه‌ي 6 به‌دست مي‌آيد بنابراين داريم:
Com-Ph-032-02%20%2819%29.gif




(رابطه‌ي 7)ريشه‌ي رابطه‌ي درجه‌ي 2 فوق عبارت است از:

Com-Ph-032-02%20%2821%29.gif



(رابطه‌ي 8)
 

parisa

متخصص بخش
راه‌حل دوم



با در نظر گرفتن چهارچوب نيم‌كره، سرعت افقي ذره از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:
Com-Ph-032-02%20%2822%29.gif




(رابطه‌ي 9)سرعت كلي اين چهارچوب از تقسيم سرعت افقي ذره بر
Com-Ph-032-02%20%2823%29.gif
به‌دست مي‌آيد:
Com-Ph-032-02%20%2824%29.gif





(رابطه‌ي 10)شيء نيم‌كره را زماني ترك مي‌كند كه نيروي عمود بر آن بر سطح نيم‌كره برابر «صفر» باشد. بنابراين نيروي شعاعي وارد بر آن با توجه به
Com-Ph-032-02%20%2825%29.gif
برابر رابطه‌ي ذيل خواهد بود:
Com-Ph-032-02%20%2826%29.gif




(رابطه‌ي 11)ممكن است از نيروهايي صرفنظر كرد كه ممكن است موجب شتاب چهارچوب نيم‌كره شوند. اما به هر حال، نيم‌كره در لحظه‌اي كه شيء تماس خود را با آن قطع مي‌كند شروع به شتاب گرفتن نمي‌كند زيرا نيروي عمود بر سطح نيم‌كره در آن لحظه برابر «صفر» است.بنابراين رابطه‌ي 11 دقيقاً شبيه به مسأله‌ي مشابه در حالت نيم‌كره‌ي ثابت خواهد بود. تفاوت دو مسأله در اندازه‌ي سرعت
Com-Ph-032-02%20%2827%29.gif
است.با جايگذاري رابطه‌هاي 10 و 4 در رابطه‌ي 11 چنين خواهيم داشت:
Com-Ph-032-02%20%2828%29.gif


(رابطه‌ي 12)با ساده كردن رابطه‌ي فوق چنين خواهيم داشت:
Com-Ph-032-02%20%2829%29.gif




(رابطه‌ي 13)رابطه‌ي فوق با خط دوم رابطه‌ي 5 معادل است. بنابراين جواب مسأله همانند ادامه‌ي راه‌حل اول است.
 

parisa

متخصص بخش
ياداوري



اجازه دهيد در مورد مقادير ويژه‌ي
Com-Ph-032-02%20%2830%29.gif
صحبت داشته باشيم.زماني كه
Com-Ph-032-02%20%2831%29.gif
از رابطه‌ي 5 خواهيم داشت:
Com-Ph-032-02%20%2832%29.gif




(رابطه‌ي 14)نتيجه ممكن است براي شما آشنا باشد.زماني كه
Com-Ph-032-02%20%2833%29.gif
از رابطه‌ي 5 خواهيم داشت:
Com-Ph-032-02%20%2834%29.gif




(رابطه‌ي 15)

بنابراين:
Com-Ph-032-02%20%2835%29.gif



(رابطه‌ي 16)به‌عبارت ديگر نيم‌كره فوراً به‌سرعت به‌سمت چپ حركت مي‌كند.براي مقادير ديگر
Com-Ph-032-02%20%2836%29.gif
، رابطه‌ي 5 را با استفاده از روابط مربوط به ريشه‌هاي يك معادله‌ي درجه‌ي سوم يا به‌سادگي با جايگذاري عددي قابل محاسبه است.چند نتيجه‌ي ناشي از جايگذاري عددي در جدول 1 آمده است:

جدول 1
Com-Ph-032%20%284%29.gif

درجه​
Com-Ph-032-02%20%2823%29.gif
Com-Ph-032-02%20%2836%29.gif
2/48
667/0
0
1/45
706/0
5/0
9/42
732/0
1
9/39
767/0
2
9/30
858/0
10
8/18
947/0
100
8/10
982/0
1000
10
1
 
بالا