ماشين الكتروستاتيك

[parisa]

سؤال

ماشين الكتروستاتيك نمايش داده شده در تصوير شامل يك محفظه‌ي كروي عايق است كه قطره‌هاي باردار با يك پتانسيل از شير بالايي چكانيده مي‌شود.

وابستگي پتانسيل بيشينه‌ي محفظه كروي را در ارتفاعي از كره كه قطره سقوط مي‌كند، اندازه بگيريد.

 

[parisa]

جواب

اين قطره‌ها يكباره به محفظه رسيده و به ديواره‌هاي رسانا منتقل خواهند شد. ديوار باردار روي ساير قطره‌هاي در حال سقوط اثر دافعه دارد. در نهايت حالت بحراني (حدي) براي قطره‌اي كه در محفظه‌ي ورودي سرعت صفر دارد وجود دارد. در اين شرايط محفظه داراي پتانسيل ماكزيمم خواهد بود.​

توضيح:

اگر محفظه به اندازه‌ي كافي بزرگ نباشد (يا قطره‌ها به تناسب آن بزرگ نباشند)، قبل از آن‌كه قطره به سرعت صفر برسد محفظه پُر خواهد شد. پتانسيل محفظه‌ي پُر در اين حالت v=Q/4πε[SUB]0[/SUB]R خواهد بود. فرض مي‌كنيم شعاع محفظه‌ي كروي R و بار آن Q=Nq باشد و N تعداد قطره‌هايي‌ست كه در محفظه سقوط كرده‌اند و q بار هر قطره است. با فرض اين‌كه هر قطره پتانسيل v[SUB]0[/SUB] دارد پس v=nv[SUB]0[/SUB]r/R و r شعاع قطره است. با توجه به بقاي جرم R[SUP]3[/SUP]=Nr[SUP]3[/SUP]است و وقتي با رابطه‌ي بالا تركيب شود: ​

v=v[SUB]0[/SUB](R/r)[SUP]2[/SUP]

بنابراين بيشينه‌ي پتانسيل محفظه در اين حالت به ارتفاع قطره‌هاي در حال سقوط وابسته نيست (البته به شرط آن‌كه محفظه به قدر كافي بزرگ باشد). بقاي انرژي باعث مي‌شود قطره از شير خروجي خارج و از بالاي لوله‌هاي محفظه وارد شد (h>2R).

ارتفاع h از زير محفظه تا خروجي شير اندازه‌گيري مي‌شود و q[SUB]1[/SUB] بار محفظه در گشتاور اختياري (دلخواه) است.

​

با استفاده از رابطه‌ي زير در مي‌يابيم كه q[SUB]1[/SUB] افزايش مي‌يابد و سرعت قطره‌ها در بالاي محفظه كاهش مي‌يابد. با توجه به فرمول حالت حدي سرعت برابر صفر را در نظر بگيريد. چه اتفاقي مي‌افتد؟ در حالت بحراني (حدي) بار محفظه برابر است با: ​

q[SUB] 1[/SUB]=mgR(h-r)/rv[SUB]0[/SUB]

v[SUB]0[/SUB] در رابطه‌ي بالا پتانسيل يك قطره است. حال اگر چگالي مايع ρ باشد، پتانسيل حدي محفظه چنين است: ​

v=ρg/3ε[SUB]0[/SUB] r[SUB]2[/SUB](h-R)/rv[SUB]0[/SUB]

اين دستگاه را به نام ژنراتور الكتروستاتيك كلوين مي شناسند.​