تجربه‌اي روزمره...

[parisa]

سؤال

تا به حال موقع هم زدن چاي يا شير وقتي روي آن شكر مي‌ريزيد، به حركت ذرات شكر توجه كرده‌ايد؟ حالا با فرض تقاون كروي ذرات ببينيم چگونه در فيزيك مي‌توانيم اين حركت را تحليل و پيش‌بيني كنيم.
كره‌اي با چگالي يكنواخت در يك ليوان آب شناور است (تصوير چپ)،‌ در هر فاصله‌اي از محور ليوان مي‌تواند باشد. اگر ليوان با سرعت زاويه‌اي ثابت بچرخد (تصوير راست)، كره در كجا قرار خواهد گرفت؟

​

 

[parisa]

جواب

شرايط مرزي براي تعادل يك شاره، برابري چگالي نيروي خارجي(بلندبرد) F و اُفت (گراديان) فشار P است: gradP=Fاگر نيروي بلندبُرد دلالت بر توليد چگالي d و a (با علامت منفي) گراديان پتانسيل جزئي U باشد،پس: d(grad U ) = grad UP- با Curl گرفتن از هر دو سمت: 0=(gradU )×(gradP )بنابراين ترازهاي چگالي ثابت و پتانسيل ثابت بر هم منطبق‌اند. در يك چارچوب مرجع چرخان با سرعت زاويه‌اي W و پتانسيل U با اين رابطه به دست مي‌آيد:

كه عبارت دوم براي نيروي گريز از مركز محاسبه مي‌شود. بنابراين سطوح هم پتانسيل و در نتيجه‌ي سطوح داراي چگالي ثابت (همانطور كه در شكل مي‌بينيد)، مقطع مخروطي، در حال دوران هستند. البته سطح مايع هم يك مخروط دوراني است. حال به كره و مايع كه جابه‌جا شده‌اند نگاه كنيد. با فرض اينكه كره روي سطح مايع نيست، مايع در تعادل خواهد بود. و در اين حالت چگالي ثابت نيست (اين چگالي كمي بالاتر در سمت راست قرار دارد). اكنون اگر كره‌اي با چگالي يكنواخت قرار دهيم، توزيع جرم به محور دوران نزديك‌تر است، در نتيجه نيروي گريز از مركز نيروي خارجي كه بر مايع وارد مي‌شود، كوچك‌تر است (اين نيروي خارجي برابر است با نيروي مركزگرايي كه هر جا باشد بر مايع وارد مي‌شود)؛ بنابراين در تعادل نخواهد بود، ولي نسبت به مركز حركت دارد. نتيجه اينكه: در حالت تعادل كره در مركز سطح شناور است.